منی فولد دود کوماتسو

منی فولد دود کوماتسو سطح یک منی فولد دود کوماتسو دو بعدی است ، به این معنی که به صورت محلی شبیه هواپیمای اقلیدسی نزدیک هر نقطه است. به عنوان مثال ، سطح یک کره زمین را می توان با مجموعه ای از نقشه ها (به نام نمودار) توصیف کرد ، که در کنار هم یک اطلس کره زمین را تشکیل می دهند. اگرچه هیچ نقشه جداگانه ای برای پوشاندن کل سطح جهان کافی نیست ، اما هر مکانی در جهان حداقل در یکی از نمودارها قرار خواهد گرفت.

بسیاری از مکان ها در بیش از یک نمودار ظاهر می شوند. به عنوان مثال ، یک نقشه از آمریکای شمالی به احتمال زیاد شامل بخش هایی از آمریکای جنوبی و دایره قطب شمال خواهد بود. این مناطق از جهان به طور کامل در نمودارهای جداگانه تشریح خواهد شد که به نوبه خود شامل بخش هایی از آمریکای شمالی خواهد بود. بین نمودارهای مجاور رابطه وجود دارد ، به نام یک نقشه انتقال که به آنها امکان می دهد به طور مداوم در کنار هم قرار بگیرند تا کل کره زمین را پوشش دهند.

توصیف نمودارهای مختصات روی سطوح به صراحت نیاز به آگاهی از عملکردهای دو متغیر دارد ، زیرا این توابع وصله باید ناحیه ای را در هواپیما به منطقه دیگری از هواپیما ترسیم کنند. با این حال ، نمونه های تک بعدی از منیفولدها (یا منحنی ها) را می توان تنها با توابع یک متغیر واحد توصیف کرد.

با توجه به نیاز به پیوستن تصاویر (بافت) برای مختصات (به عنوان مثال اسکن های CT) ، مانیفولد ها در گرافیک های رایانه ای و واقعیت افزوده کاربردهایی دارند. در یک واقعیت افزوده ، یک تصویر (هواپیمای مماس) می تواند به عنوان چیزی در ارتباط با یک مختصات مشاهده شود و با استفاده از سنسورها برای تشخیص حرکات و چرخش ، می توان از نحوه جهت گیری و قرار دادن تصویر در فضا آگاهی داشت.

پس از یک خط ، دایره ساده ترین نمونه از منیفولد توپولوژیکی است. توپولوژی خمش را نادیده می گیرد ، بنابراین یک قطعه کوچک از دایره دقیقاً مانند قطعه کوچک از یک خط درمان می شود. به عنوان مثال ، قسمت بالای دایره واحد ، x2 + y2 = 1 را در نظر بگیرید که مختصات y مثبت است (که توسط قوس دایره ای زرد در شکل ۱ نشان داده شده است). هر نقطه از این قوس را می توان با مختصات x آن منحصر به فرد توصیف کرد.

حلقه غنی شده منی فولد دود کوماتسو

با استفاده از حساب ، تابع انتقال دایره T به سادگی تابعی بین فواصل باز است ، که به این جمله معنی می دهد که T قابل تشخیص است. نقشه گذار T و سایر موارد ، روی (۰ ، ۱) متفاوت هستند. بنابراین ، با این اطلس دایره یک مانیفولد متفاوت است. همچنین صاف و تحلیلی است زیرا توابع انتقال نیز این خصوصیات را دارند.

سایر خصوصیات دایره این امکان را برای شما فراهم می کند که نیازهای انواع منیفولد تخصصی تری را برآورده کند. به عنوان مثال ، دایره مفهومی از فاصله بین دو نقطه دارد ، طول قوس بین نقاط؛ از این رو یک مانیفولد ریمانی است.

مانیفولد ها نباید بسته شوند. بنابراین یک قطعه خط بدون نقاط پایانی آن چند برابر است. و آنها هرگز قابل شمارش نیستند ، مگر اینکه ابعاد منیفولد ۰ باشد. این آزادیها را در کنار هم قرار دهید ، نمونه های دیگر مانیفولد ها عبارتند از یک پارابولا ، یک هایپربالا (دو قطعه باز و نامتناهی) و جایگاه نقاط بر روی منحنی مکعب y2 = x3 – x (یک قطعه حلقه بسته و یک قطعه باز و بی نهایت).

با این وجود ، منی فولد دود کوماتسو مثالهایی مانند دو دایره لمسی وجود دارد که یک نقطه را برای شکل دادن به شکل ۸ دارند. در نقطه مشترک ، نمودار رضایت بخش ایجاد نمی شود. حتی با خم شدن توپولوژی ، مجاورت نقطه مشترک به نظر می رسد “+” ، نه یک خط. یک “+” با فاصله داخلی (بخش خط) هومومورفیک نیست ، زیرا حذف نقطه مرکز از “+” فضایی با چهار مؤلفه می دهد ، در حالی که حذف یک نقطه از یک بازه بسته فضایی را با بیشتر دو قطعه؛ عملیات توپولوژیک همیشه تعداد قطعات را حفظ می کند.

میل لنگ و قطعات یدکی کوماتسو

بسته به متن ، انواع مختلفی از منیفولدها وجود دارد. در هندسه و توپولوژی ، تمام منیفولدها منیفولدهای توپولوژیکی هستند ، احتمالاً دارای ساختار اضافی مانند یک ساختار متفاوت هستند. منیفولد را می توان با دادن مجموعه ای از نمودارهای مختصات ، یعنی پوشاندن توسط مجموعه های باز با هومومورفیزمها به یک فضای اقلیدسی و توابع وصله ای ساخت: توابع هومومورفیسم از یک منطقه از فضای اقلیدسی به منطقه دیگر در صورت مطابقت با همان قسمت از منیفولد در دو نمودار مختصات مختلف. اگر عملکردهای وصله ای بدتر از تداوم را برآورده سازند ، می توان ساختار اضافی ایجاد کرد. به عنوان مثال ، منیفولدهای متفاوت در همسایگی های با هم تداخل دارند که دارای اختلافات متفاوتی با یکدیگر هستند ، به طوری که منیفولد دارای توابع کاملاً تعریف شده ای است که در هر محله متفاوت است ، و به طور کلی از منیفولد متفاوت است.

به طور محلی از نظر هومومورفیک به فضای اقلیدسی بدین معنی است که هر نقطه دارای یک همسایه محله به یک توپ آزاد اقلیدسی است ،

به طور دقیق تر ، هومومورف محلی به این معنی است که هر نقطه از مانیفولد M دارای یک محله باز همومورف به یک محله باز در فضای اقلیدسی است ، و نه به طور خاص به توپ واحد. با این حال ، با توجه به چنین هومومورفیسم ،یک هومومورفیسم بین توپ واحد و یک محله کوچکتر از m را ایجاد می کند ، بنابراین این از دست دادن کلی بودن نیست. در مورد منی فولد توپولوژیکی یا تمایز پذیر نیز می توان پرسید که در هر نقطه یک همسایگی محله ای برای همه فضای اقلیدسی وجود دارد ، اما این کار برای منیفولدهای پیچیده انجام نمی شود ، زیرا توپ واحد پیچیده هولومورفیک نیست.

به طور کلی قطعات ماشین های معدنی منی فولد دود komatsu از یک بعد ثابت استفاده می شوند (فضا باید به صورت محلی به صورت یک توپ ثابت ثابت در خانه باشد) و به چنین فضایی یک n-manifold گفته می شود. با این حال ، برخی از نویسندگان نمایشگرهایی را پذیرفته اند که نقاط مختلف می توانند ابعاد مختلفی داشته باشند.منی فولد دود کوماتسو اگر منیفولد دارای ابعاد ثابت باشد ، به آن منیفولد خالص گفته می شود. به عنوان مثال ، کره از ابعاد ثابت ۲ برخوردار است و بنابراین یک مانیفولد خالص است در حالی که اتحاد جداگانه یک کره و یک خط در فضای سه بعدی یک مانیفولد خالص نیست. از آنجا که بعد یک تغییر ناپذیر محلی است (یعنی نقشه ای که هر نقطه را به ابعاد همسایه خود ارسال می کند

زمین کروی با استفاده از نقشه ها یا نمودارهای مسطح ، که در یک اطلس جمع آوری شده ، پیمایش می شود. به طور مشابه ، یک منیفولد متفاوت را می توان با استفاده از نقشه های ریاضی ، به نام نمودار های مختصات ، که در یک اطلس ریاضی جمع آوری شده است ، توصیف کرد. به طور کلی توصیف منیفولد تنها با یک نمودار امکان پذیر نیست ، زیرا ساختار جهانی منیفولد با ساختار ساده نمودارها متفاوت است. به عنوان مثال ، هیچ نقشه مسطح واحدی نمی تواند کل زمین را بدون تفکیک ویژگی های مجاور در مرزهای نقشه یا تکرار پوشش نشان دهد. هنگامی که منیفولد از چندین نمودار همپوشانی ساخته می شود ، مناطقی که در آنها با هم همپوشانی دارند اطلاعات لازم را برای درک ساختار جهانی دارند.

سوزن انژکتور و قطعات یدکی کوماتسو

یک نقشه مختصات ، یک نمودار مختصات یا یک نمودار ساده از یک منیفولد یک نقشه معکوس بین زیر مجموعه منیفولد و یک فضای ساده است به گونه ای که هم نقشه و هم معکوس آن ساختار مورد نظر را حفظ می کند. [۲] برای یک منیفولد توپولوژیکی ، فضای ساده زیرمجموعه‌ای از فضای اقلیدسی Rn است و علاقه به ساختار توپولوژیک متمرکز است. این ساختار توسط هومومورفیسم ها ، نقشه های برگشت پذیر که از دو جهت مداوم هستند ، حفظ می شود.

در مورد منیفولد متفاوت ، مجموعه ای از نمودارها به نام اطلس به ما امکان می دهد تا روی مانیفولد ها حساب کنیم. به عنوان مثال ، مختصات قطبی ، نمودار را برای هواپیما R2 منهای محور x مثبت و منشا تشکیل می دهند. نمون Another دیگر نمودار ، نقشه chtop ذکر شده در بخش فوق ، نمودار برای دایره است.

توضیحات بیشتر منیفولدها به بیش از یک نمودار نیاز دارد (یک نمودار واحد فقط برای ساده ترین مانیفولدها مناسب است). مجموعه مشخصی از نمودارها که مانیفولد را پوشش می دهند ، اطلس نامیده می شود. یک اطلس منحصر به فرد نیست زیرا تمام منیفولدها را می توان با استفاده از ترکیبهای مختلف نمودارها به روشهای مختلفی پوشانید. گفته می شود که اگر اتحادیه آنها نیز یک اطلس باشد ، دو اطلس برابر هستند.

اطلس حاوی کلیه نمودارهای ممکن مطابق با یک اطلس معین ، اطلس حداکثر نامیده می شود (یعنی یک کلاس هم ارزی شامل آن اطلس داده شده است. بر خلاف یک اطلس معمولی ، حداکثر اطلس یک مانیفولد خاص منحصر به فرد است. گرچه برای تعاریف مفید است ، اما یک شیء انتزاعی است و مستقیماً از آن استفاده نمی شود.

ساختار اضافی منی فولد دود کوماتسو

همچنین می توان از یک اطلس برای تعریف ساختار اضافی روی منیفولد استفاده کرد. ساختار ابتدا در هر نمودار بطور جداگانه تعریف می شود. اگر همه نقشه های انتقال با این سازه سازگار باشند ، ساختار به منیفولد منتقل می شود.

این روش استاندارد تعریف منیفولدهای متفاوت است. اگر توابع انتقال یک اطلس برای یک منیفولد توپولوژیکی ، ساختار دیفرانسیل طبیعی Rn را حفظ کند (یعنی اگر آنها دیفئورمورفیسم باشند) ، ساختار دیفرانسیل به منیفولد منتقل می شود و آن را به یک منیفولد متمایز تبدیل می کند. منیفولدهای پیچیده با نیاز به توابع انتقال یک اطلس توابع هولومورفیک به روش مشابه معرفی می شوند. برای منیفولدهای سمبل ، توابع انتقال باید به صورت سیمپلکتومورفیسم باشند.

ساختار روی منیفولد به اطلس بستگی دارد ، اما بعضی اوقات می توان گفت که اطلس های مختلف باعث ایجاد همین ساختار می شوند. چنین اطلس ها سازگار نامیده می شوند.

این مفاهیم بطور کلی با استفاده از گروههای شبه‌جزئیه‌ای دقیق انجام می‌شوند.

منیفولد با مرز ، منیفولد با لبه است. به عنوان مثال ، یک ورق کاغذ یک منیفولد ۲ با یک مرز ۱ بعدی است. مرز n – manifold با مرز یک n-n است. دیسک (دایره به علاوه داخلی) یک مانیفولد با مرز است. مرز آن یک دایره است ، یک مانیفولد ۱-. یک مربع با داخلی نیز یک منیفولد ۲ ضلعی با مرز است. یک توپ (کره به علاوه داخلی) یک مانیفولد ۳ مرز با مرز است. مرز آن یک کره است ، یک مانیفولد ۲-. (همچنین به مرز (توپولوژی) مراجعه کنید).

به زبان فنی ، منی فولد دود کوماتسو با مرز فضایی است که دارای نقاط داخلی و نقاط مرزی است. هر نقطه داخلی دارای همسایگی محله ای با n-top open (x1 ، x2 ،… ، xn) است | Σxi2 <1. هر نقطه مرزی دارای یک همسایه محله به “توپ” n-ball {(x1 ، x2 ، … ، xn) | Σxi2 <1 و x1 ≥ ۰٫ هومومورفیسم باید هر نقطه مرزی را به نقطه ای با x1 = 0 ارسال کند.

مرز و داخلی منی فولد دود کوماتسو

بگذارید M یک مانیفولد با مرز باشد. فضای داخلی M با علامت Int M مجموعه ای از نقاط M است که دارای محله های همومورفیک به زیر مجموعه ای از Rn است. مرز M ، با بیان ∂M ، مکمل Int M در M. است. نقاط مرزی را می توان به عنوان نقاطی توصیف کرد که بر روی ابر صفحه (xn = 0) Rn + در زیر برخی نمودارهای مختصات فرود می آیند.

اگر M یک مانیفولد با مرز بعد n باشد ، Int M یک مانیفولد (بدون مرز) از ابعاد n و ∂M مانیفولد (بدون مرز) از بعد n – ۱ است.

ساخت و ساز منی فولد دود کوماتسو

یک منیفولد واحد می تواند به روش های مختلفی ساخته شود که هر یک بر جنبه های مختلف منیفولد تأکید می کند و از این طریق به یک دیدگاه متفاوت می انجامد.

شاید ساده ترین روش برای ساخت منیفولد راهی باشد که در مثال بالا از دایره استفاده شده است. ابتدا زیر مجموعه ای از R2 شناسایی می شود و سپس یک اطلس با پوشش این زیر مجموعه ساخته می شود. مفهوم منیفولد از لحاظ ساختاری مانند این از لحاظ تاریخی رشد کرد. در اینجا یک مثال دیگر ، استفاده از این روش برای ساختن یک کره:

یک منیفولد را می توان با چسباندن قطعات به صورت یکنواخت ، ساخت و آنها را به نمودارهای همپوشانی تبدیل کرد. این ساخت و ساز برای هر منیفولد امکان پذیر است و از این رو اغلب به عنوان یک توصیف ، بخصوص برای مانیفولدهای متفاوت و رییمانی استفاده می شود. این قسمت روی یک اطلس متمرکز است ، زیرا تکه ها به طور طبیعی نمودارهایی را تهیه می کنند ، و از آنجا که هیچ فضای بیرونی در آن وجود ندارد ، منجر به نمای ذاتی از منیفولد می شود.

منیفولد با مشخص کردن یک اطلس ساخته شده است ، که خود توسط نقشه های انتقال تعریف می شود. بنابراین یک نقطه از منیفولد یک کلاس هم ارزی نقاطی است که توسط نقشه های گذار به یکدیگر نقشه کشیده می شوند. نمودارهای کلاس هم ارزی نقشه ها به نقاط یک وصله واحد. معمولاً خواسته های شدیدی بر قوام نقشه های انتقال وجود دارد. برای مانیفولدهای توپولوژیکی لازم است که آنها همومورفیسم باشند. اگر آنها نیز دیفئورمورفیسم باشند ، منیفولد حاصل یک مانیفولد متفاوت است.

این را می توان با نقشه انتقال t = 1 از نیمه دوم مثال دایره نشان داد. با دو نسخه از خط شروع کنید. برای نسخه اول از مختصات استفاده کنید و برای نسخه دوم از t استفاده کنید. حال ، هر دو کپی را با مشخص کردن نقطه t روی نسخه دوم با نقطه s = 1⁄t روی نسخه اول چسب بزنید (نقاط t = 0 و s = 0 با هیچ نقطه ای در نسخه اول و دوم مشخص نمی شوند ، به ترتیب). این یک حلقه می دهد.

نمای ذاتی و بیرونی منی فولد دود کوماتسو

اولین ساخت و ساز منی فولد دود کوماتسو بسیار شبیه به هم هستند اما از نقطه نظرهای مختلفی را نشان می دهند. در ساخت اول ، منیفولد در بعضی از فضای اقلیدسی تعبیه شده است. این نمای بیرونی است. هنگامی که منیفولد از این طریق مشاهده می شود ، می توان به راحتی از شهود فضاهای اقلیدسی استفاده کرد تا ساختار اضافی را تعریف کند.

می توان نقاط مختلف منیفولد را یکسان تعریف کرد. این را می توان به عنوان چسباندن این نقاط در یک نقطه واحد و ایجاد یک فضای بزرگ به تصویر کشید. با این وجود ، هیچ دلیلی وجود ندارد که انتظار داشته باشیم چنین فضاهای بزرگ چند برابر شود. در میان فضاهای احتمالی احتمالی که لزوما مانیفولد نباشند ، مجتمع های مداری و CW در نظر گرفته می شوند که رفتار نسبتاً خوبی دارند. نمونه ای از فضای اختصاصی منیفولد که یک مانیفولد نیز هست ، فضای پروژکتور واقعی است که به عنوان فضای کمتری از حوزه مربوطه شناخته می شود.

یکی از روشهای شناسایی نقاط (چسباندن آنها به یکدیگر) از طریق یک عمل راست (یا سمت چپ) یک گروه است که روی منیفولد عمل می کند. اگر یکی از عناصر گروه بر روی دیگری منتقل شود ، دو نقطه مشخص می شوند. اگر M مانیفولد باشد و G گروه است ، فضای کمبندی حاصل با M / G (یا G \ M) مشخص می شود.

به طور رسمی ، چسب توسط یک زیبایی بین دو مرز تعریف می شود [مشکوک – بحث کنید]. دو نقشه هنگام نقشه برداری بر روی یکدیگر مشخص می شوند. برای یک منیفولد توپولوژیکی ، این زیبایی باید یک هومومورفیسم باشد ، در غیر این صورت نتیجه منیفولد توپولوژیکی نخواهد بود. به طور مشابه برای یک منیفولد متمایز ، باید یک دیفئورمورفیسم باشد. برای منیفولدها ساختارهای دیگر باید حفظ شوند.

ابعاد منیفولد محصول مجموع ابعاد عوامل آن است. توپولوژی آن ، توپولوژی محصول است و نمودارهای کاریکاتوری ، نمودارهایی برای چندمنظوره محصول است. بنابراین ، یک اطلس برای منیفولد محصول می تواند با استفاده از اطلس برای عوامل آن ساخته شود. اگر این اطلس ها ساختار دیفرانسیل را بر روی فاکتورها تعریف کنند ، اطلس مربوطه یک ساختار دیفرانسیل را روی منیفولد محصول تعریف می کند. در مورد هر ساختار دیگری که بر روی فاکتورها تعریف شده است ، همین موضوع صادق است. اگر یکی از عوامل مرز داشته باشد ، منیفولد محصول نیز دارای مرز است. از محصولات دکارتی ممکن است برای ساخت سیلندرهای tori و محدود استفاده شود ، به عنوان مثال به ترتیب S1 × S1 و S1 × [۰ ، ۱].

کارل فردریش گاوس شاید اولین کسی باشد که فضاهای انتزاعی را به عنوان اشیاء ریاضی در نوع خود در نظر گرفته است. قضیه او egregium روشی را برای محاسبه انحنای سطح بدون در نظر گرفتن فضای محیطی که سطح در آن قرار دارد ، ارائه می دهد. چنین سطحی ، در اصطلاحات مدرن ، منیفولد نامیده می شود. و از نظر مدرن ، قضیه ثابت کرد که انحنای سطح یک ویژگی ذاتی است. نظریه منیفولد منحصراً روی این خصوصیات ذاتی (یا ثابت) متمرکز شده است ، در حالی که تا حد زیادی از ویژگیهای بیرونی فضای محیط چشم پوشی می کند.

منبع مهم دیگر مانیفولد در ریاضیات قرن نوزدهم مکانیک تحلیلی بود . تصور می شود حالات احتمالی یک سیستم مکانیکی نقاطی از یک فضای انتزاعی ، فضای فاز در لورگانیان و فرمالیسم همیلتون مکانیک کلاسیک است. این فضا در حقیقت یک منیفولد با ابعاد بالا است که ابعاد آن مطابق با درجه های آزادی سیستم و جایی است که نقاط توسط مختصات عمومی آنها مشخص می شود. برای حرکت نامشخص ذرات آزاد ، منیفولد معادل فضای اقلیدسی است ، اما قوانین مختلف حفاظت آن را محدود به سازندهای پیچیده تر می کند ، به عنوان مثال. لیووی توری تئوری یک جسم جامد در حال چرخش ، توسعه یافته در قرن ۱۸ توسط لئونارد اویلر و جوزف لوئیس لاگرانژ ، مثال دیگری را نشان می دهد که در آن مانیفولد غیرمجاز است. جنبه های هندسی و توپولوژیکی مکانیک کلاسیک توسط هنری پوانکاره ، یکی از بنیانگذاران توپولوژی مورد تأکید قرار گرفت.